Уравнение прямой по. Уравнение прямой – виды уравнения прямой: проходящее через точку, общее, каноническое, параметрическое и т.д. Примеры задач на прямую линию

В этой статье получено уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, а также выведены уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. После изложения теории показаны решения характерных примеров и задач, в которых требуется составить уравнения прямой различного вида, когда известны координаты двух точек этой прямой.

Навигация по странице.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости.

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована Oxy . В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости . С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой . Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a , которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки и .

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Напишем каноническое уравнение прямой a , проходящей через две заданные точки и .

Очевидно, направляющим вектором прямой a , которая проходит через точки М 1 и М 2 , является вектор , он имеет координаты (при необходимости смотрите статью ). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора и координаты лежащей на ней точки (и ). Оно имеет вид (или ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости , проходящей через две точки и . Они имеют вид или .

Разберем решение примера.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки .

Решение.

Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и , имеет вид .

Из условия задачи имеем . Подставим эти данные в уравнение . Получаем .

Ответ:

Если нам потребуется не каноническое уравнение прямой и не параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, а уравнение прямой другого вида, то от канонического уравнения прямой всегда можно к нему прийти.

Пример.

Составьте общее уравнение прямой , которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .

Решение.

Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид . Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду: .

Ответ:

На этом можно и закончить с уравнением прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости. Но хочется напомнить, как мы решали такую задачу в средней школе на уроках алгебры.

В школе нам было известно лишь уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Найдем значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение определяет в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую линию, проходящую через точки и при . (Если же x 1 =x 2 , то угловой коэффициент прямой бесконечен, а прямую М 1 М 2 определяет общее неполное уравнение прямой вида x-x 1 =0 ).

Так как точки М 1 и М 2 лежат на прямой, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой , то есть, справедливы равенства и . Решая систему уравнений вида относительно неизвестных переменных k и b , находим или . При этих значениях k и b уравнение прямой, проходящей через две точки и , принимает вид или .

Запоминать эти формулы не имеет смысла, при решении примеров проще повторять указанные действия.

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, если эта прямая проходит через точки и .

Решение.

В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Найдем k и b , при которых уравнение соответствует прямой, проходящей через две точки и .

Так как точки М 1 и М 2 лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой , то есть, верны равенства и . Значения k и b находим как решение системы уравнений (при необходимости обращайтесь к статье ):

Осталось подставить найденные значения и в уравнение . Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид .

Колоссальный труд, не так ли?

Намного проще записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки и , оно имеет вид , и от него перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом: .

Ответ:

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , и заданы две несовпадающие точки и , через которые проходит прямая M 1 M 2 . Получим уравнения этой прямой.

Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространстве вида и параметрические уравнения прямой в пространстве вида задают в прямоугольной системе координат Oxyz прямую линию, которая проходит через точку с координатами и имеет направляющий вектор .

Направляющим вектором прямой M 1 M 2 является вектор , и эта прямая проходит через точку (и ), тогда канонические уравнения этой прямой имеют вид (или ), а параметрические уравнения - (или ).

Если потребуется задать прямую М 1 М 2 с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей , то сначала следует составить канонические уравнения прямой, проходящей через две точки и , и из этих уравнений получить нужные уравнения плоскостей.

Список литературы.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Пример 1.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:

Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.

2 способ — составим общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид . Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.

Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:

получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:

Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет :

Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)

(то есть x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

и упростим:

откуда 2x+y-3=0.

В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Замечание.

Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения

окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).

Подставляем в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D.

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x - x 1 a x = y - y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) и координатами лежащих на них точках M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Пример 1

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 (1 , 1) и M 2 (4 , 2) в системе координат О х у.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Ответ: x - 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у, которая проходит через точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x - x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Пример 3

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 (2 , 1) и y = k x + b .

Решение

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = - 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x - 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 (2 , 1) и M 1 (- 7 , - 5) , имеющее вид x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x - 1 3 .

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты (x 1 , y 1 , z 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y , a z) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , где прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Пример 4

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 (2 , - 3 , 0) и M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Решение

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = - 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = - 3 , z 2 = - 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Ответ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Теорема 1

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А, В, С.

Доказательство

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 (x 0 , y 0) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) . Таким образом, множество точек M (x , y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = (A , B) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 (x 0 , y 0) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = (A , B) .

Пусть также существует некоторая точка M (x , y) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Перепишем уравнение A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , определим C: C = - A x 0 - B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Определение 1

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y - 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = (2 , 3) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y - 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Определение 2

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А, В, С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным .

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение - C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек (x , y) , координаты которых равны одному и тому же числу - C B .
Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел (0 , 0) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Пример 1

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , - 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

A · 2 7 + C = 0

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x - 2 = 0

Ответ: 7 x - 2 = 0

Пример 2

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку (0 , 3) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки (0 , 3) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С: С = - 3 . Используем известные значения В и С, получаем требуемое уравнение прямой: y - 3 = 0 .

Ответ: y - 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 (x 0 , y 0) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 (x 0 , y 0) и имеет нормальный вектор n → = (A , B) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Пример 3

Даны точка М 0 (- 3 , 4) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = (1 , - 2) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = - 2 , x 0 = - 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + C = 0 ⇔ x - 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 (- 3 , 4) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x - 2 · y + C = 0 , т.е. - 3 - 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x - 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x - 2 · y + 11 = 0 .

Пример 4

Задана прямая 2 3 x - y - 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна - 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = - 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Определяем y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Ответ: - 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = - B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A - B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = - B y - C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = - B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x - B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Пример 5

Задано общее уравнение прямой 3 y - 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y - 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим - 3 за скобки; получаем: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x - 3 = y - 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x - 3 = y - 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Пример 6

Прямая задана уравнением 2 x - 5 y - 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = - A x - C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = - A B x - C B .

Пример 7

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Ответ: y = - 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Пример 8

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x - 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Ответ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 9

Заданы параметрические уравнения прямой x = - 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Ответ: y - 4 = 0

Пример 10

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Пример 11

Задана прямая, параллельная прямой 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 (4 , 1) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = (2 , - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Ответ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Пример 12

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x - 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x - 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = (3 , 5) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О (0 , 0) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Ответ : 3 x + 5 y = 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)

где k - пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).

Отсюда находим Подставляя найденное значениеk в уравнение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М 1 и М 2:

Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .

Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0), а ось Оу – в точке М 2 (0;b). Уравнение примет вид:
т.е.
. Это уравнение называетсяуравнением прямой в отрезках, т.к. числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).

Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть

А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .

Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)

где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонические уравнения прямой

Где
- координаты точки, через которую проходит прямая, а
- направляющий вектор.

Кривые второго порядка Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.

Каноническое уравнение круга радиуса R с центром в точке
:

В частности, если центр кола совпадает с началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и, которые называются фокусами, есть величина постоянная
, большая чем расстояние между фокусами
.

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ох, а начало координат посредине между фокусами имеет вид
где a длина большой полуоси; b– длина малой полуоси (рис. 2).