Теорема вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Монотонная последовательность Какая из последовательностей является монотонной и ограниченной

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность { x n } имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup { x n } для неубывающей и точной нижней границе, inf { x n } для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) неубывающей ограниченной последовательностью .

(1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

• для всех n ,
  (1.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , так что
  (1.3) .

.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью :
(2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

• для всех n выполняются неравенства:
  (2.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого
  (2.3) .

.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью .

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .

Определение. Последовательность {x n } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Например, последовательности 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) – ограниченные, а последовательность 1 0) – неограниченная.

Непосредственно из определения ограниченной последовательности и определения предела последовательности следует теорема:

Теорема. Если x n ® a, то последовательность {x n } ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя

Определение. Последовательность {x n }называется ограниченной сверху , если для любого n существует такое число М, что x n £ M.

Пример. {x n } = 3n – ограничена снизу {3, 6, 9, … }.

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если x n +1 > x n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x n +1 ³ x n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x n +1 < x n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x n +1 £ x n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .

Пример. {x n } = 1/n – убывающая и ограниченная

{x n } = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x n }= монотонная возрастающая.

Решение. Найдем член последовательности {x n +1 }=

Найдем знак разности: {x n }-{x n +1 }=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x n +1 > x n . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

Решение. Найдем . Найдем разность

Т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х 1 £ х 2 £ х 3 £ … £ х n £ x n +1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: x n £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x n }- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < x N £ x n ,

Отсюда a - e < x n < a + e

E < x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

§3. Число е .

Рассмотрим последовательность {x n } = .

Если последовательность {x n } монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

Или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x n } – возрастающая. Действительно, запишем выражение x n +1 и сравним его с выражением x n:

Каждое слагаемое в выражении x n +1 больше соответствующего значения x n , и, кроме того, у x n +1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x n } возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е .

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x n } все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть х = 10 у, тогда lnx = ln10 y , следовательно lnx = yln10

у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

§4. Понятие предела функции .

4.1. Предел функции в точке.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

Где М = e + ïАï

Теорема доказана.

4.2. Односторонние пределы.

Определение. Если f(x) ® A 1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева , а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .

у

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А 1 и А 2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

4.3.Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x 1 , x 2 , … x n , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .

Пример 1 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

задана с помощью формулы общего члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

x 1 , x 2 , … x n , …

называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n

x n + 1 > x n

Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n , …

является возрастающей последовательностью .

Определение 2. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x n + 1 < x n

Пример 4 . Последовательность

заданная формулой

является убывающей последовательностью .

Пример 5 . Числовая последовательность

1, - 1, 1, - 1, …

заданная формулой

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 5. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 6. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

m < x n < M

Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .

Пример 6 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

заданная формулой

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .

Пример 7 . Последовательность

заданная формулой

является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

Определение 1. Последовательностьназываетсяубывающей (невозрастающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 2. Последовательность
называетсявозрастающей (неубывающей ), если для всех
выполняется неравенство
.

Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.

Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.

Пример 1. Последовательность
возрастает,не убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.

Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая

Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство . Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2 существует
. Докажем, что
.

Возьмем
произвольно. Посколькуа – точная верхняя граница, существует номерN такой, что
. Так как последовательность неубывающая, то для всех
имеем, т.е.
, поэтому
для всех
, а это и означает, что
.

Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.

Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.

Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.

Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.

Следствие . Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то
(
).

Действительно, по теореме 1
(
).

Определение 4. Еслии
при
, то последовательностьназываетсястягивающейся системой вложенных отрезков .

Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство . Докажем, что точкас существует. Поскольку
, то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как. Тогда по теореме 1 существуют
и
, но так как
, то
=
. Найденная точкас принадлежит всем отрезкам системы, так как по следствию теоремы 1
,
, т.е.
для всех значенийn .

Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две:с иd и пусть для определенности
. Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
, т.е.
для всехn , что невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
. Теорема доказана.

Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы
, очевидно, стягиваются в точку
, однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой системы.

Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.

1) Число е .

Рассмотрим теперь последовательность
. Как она себя ведет? Основание

степени
, поэтому
? С другой стороны,
, а
, поэтому
? Или предел не существует?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность
. Докажем, что она убывает и ограничена снизу. При этом нам будет нужна

Лемма . Если
, то для всех натуральных значенийn имеем

(неравенство Бернулли).

Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.

Если
, то
, т.е. неравенство верно.

Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.

Верно
. Умножим это неравенство на
:

Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.

Покажем, что последовательность
убывает. Имеем

‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
,а это и означает, что последовательность
убывает.

Ограниченность снизу следует из неравенства
‌‌‌׀неравенство Бернулли׀
для всех натуральных значенийn .

По теореме 1 существует
, который обозначают буквойе . Поэтому
.

Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.

Замечания . 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что
при
. Действительно, если
, то
. Тогда, по неравенству Бернулли,при
. Отсюда при
имеем
, то есть
при
.

2) В рассмотренном выше примере основание степени стремится к 1, а показатель степениn – к, то есть имеет место неопределенность вида. Неопределенность такого вида, как мы показали, раскрывается с помощью замечательного предела
.

2)
(*)

Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством
для всех
, которое является следствием неравенства
.

Имеем
см. неравенство выше
, т.е. последовательность ограничена снизу числом
.

Далее,
так как

, т.е. последовательность не возрастает.

По теореме 1 существует
, который обозначимх . Переходя в равенстве (*) к пределу при
, получим

, т.е.
, откуда
(берем знак «плюс», так как все члены последовательности положительны).

Последовательность (*) применяется при вычислении
приближенно. Заберут любое положительное число. Например, найдем
. Пусть
. Тогда
,. Таким образом,
.

3)
.

Имеем
. Поскольку
при
, существует номерN , такой, что для всех
выполняется неравенство
. Таким образом, последовательность
, начиная с некоторого номераN , убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn . Значит, по теореме 1 существует
. Поскольку
, имеем
.

Итак,
.

4)
, справа –n корней.

Методом математической индукции покажем, что
для всех значенийn . Имеем
. Пусть
. Тогда, отсюда получаем утверждение по принципу математической индукции. Используя этот факт, находим, т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует, так как
.

Таким образом,
.