Лекция №2

по математике

Тема: «Математические понятия»

Математические понятия

Определение понятий

Требования к определению понятий

Некоторые виды определений

1. Математические понятия

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математику, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Как же изучить такое обилие самых разных понятий?

Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте - это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

2. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 26).

Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,..., z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А В (А ≠ В), то говорят, что понятиеа - видовое по отношению к понятию b , а понятие b - родовое по отношению к понятию а .

Например, если а - «прямоугольник», b - «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А В и А ≠ В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Если множества А и В не связаны отношением включения, то говорят, что понятия а и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны. Например, не связаны такими отношениями понятия «треугольник» и «прямоугольник».

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия - множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и Ь, если:

1) а - «прямоугольник», b - «ромб»;

2) а - «многоугольник», b - «параллелограмм»;

3) а - «прямая», b - «отрезок».

В случае 1) объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого (рис. 27).

Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае 2) объемы данных понятии находятся в отношении включения, но не совпадают - всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот (рис. 28). Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» - видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» - родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком (рис. 29).

Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок- часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.

Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.

Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.

В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.

Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.

Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .

Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:

1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.

2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.

3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2 <1000».

4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.

В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.

Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.

Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.

Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.

В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:

· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.

· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.

Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.

Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:

· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.

· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.

· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.

Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.

· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, - работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.

На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.

· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.

2.4 Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.

Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Выполнил:

студентка V курса математического факультета

Бельтюкова Анастасия Сергеевна

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа и МПМ

М.В Крутихина

Рецензент:

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И .В Ситникова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

• Введение 3
• Глава 1 Основы методики изучения математических понятий 5
• 5
• 8
• 9
• 10
• 11
• 13
• Глава 2 Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах 15
• 15
• 18
• 22
• 28
• Глава 3 Опытное преподавание 36
• Заключение 44
• Библиографический список 45

Введение

Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе - и математики.

Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, - понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено, у обучаемых возникнут серьёзные проблемы при дальнейшем изучении математики.

С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении различных математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятиями: точка, линия, угол, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов.

Задача учителя - обеспечить полноценное усвоение понятий. Однако в школьной практике данная задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.

«Главный недостаток школьного усвоения понятий - формализм», --считает психолог Н.Ф.Талызина. Суть формализма состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятия, то есть, осознавая его содержание, не умеют пользоваться им при решении задач на применение этого понятия. Следовательно, формирование понятий -- это важная, акт у альная проблема.

Объект исследования: процесс формирования математических понятий в 5-6 классах.

Цел ь работы: разработать методические рекомендации для изучения математических понятий в 5-6 классах.

Задачи работы:

1. Изучить математическую, методическую, педагогическую литературу по данной теме.

2. Выявить основные способы определения понятий в учебниках 5-6 классов.

3. Определить особенности формирования математических понятий в 5-6 классах.

Гипотеза исследования : Если в процессе формирования математических понятий в 5-6 классах учесть следующие особенности:

· понятия в большинстве своём определяются с помощью конструирования, и часто формирование правильного представления о понятии у учащихся достигается с помощью поясняющих описаний;

· вводятся понятия конкретно-индуктивным путём;

· на протяжении всего процесса формирования понятия большое внимание уделяется наглядности, то этот процесс будет более эффективным.

Методы исследования:

· изучение методической и психологической литературы по теме;

· сравнение различных учебников по математике;

· опытное преподавание.

Глава 1
Основы методики изучения математических понятий

1.1 Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий

Понятие - форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание - множество существенных признаков понятия. Объём - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём - это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

Содержание понятия отождествляется с его определением, а объём раскрывается через классификацию. Классификация - деление множества на подмножества, которые удовлетворяют следующим требованиям:

o должно проводится по одному признаку;

o классы должны быть не пересекающимися;

o объединение всех классов должно давать всё множество;

o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Пример.

2

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

1.2 Определение математических понятий, первичные понятия, поясняющие описание

Определить объект - выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении.

Определением считается такая формулировка, которая сводит новое понятие к уже известным понятиям этой же области. Такое сведение не может продолжаться бесконечно, поэтому наука имеет первичные понятия , которые определяются не явно, а косвенно (через аксиомы). Список первичных понятий неоднозначен, по сравнению с наукой, в школьном курсе первичных понятий намного больше. Основной приём для разъяснения, введения первичных понятий - составление родословных.

В школьном курсе не всегда целесообразно давать понятиям строгое определение. Иногда достаточно сформировать правильное представление. Это достигается с помощью пояс няющих описаний - доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию.

1.3 Способы определения понятий

По логической структуре определения делятся на конъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "и") и дизъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "или").

Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении, и зафиксированных связей между ними называется логико-математическим анализом определения .

Существует подразделение определений на дескриптивные и конструктивные.

Дескриптивные - описательные или косвенные определения, имеющие, как правило, вид: «объект называется…, если он обладает…». Из таких определений не следует факт существования данного объекта, поэтому все подобные понятия требуют доказательства существования. Среди них выделяют следующие способы определений понятий:

· Через ближайший род и видовое отличие. (Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия).

· Определения-соглашения - определения, в которых свойства понятий выражаются с помощью равенств или неравенств.

· Аксиоматические определения. В самой науке математике используются часто, а в школьном курсе редко и для интуитивно ясных понятий. (Площадь фигуры - величина, численное значение которой удовлетворяет условиям: S(F)0; F 1 =F 2 S(F 1)=S(F 2); F=F 1 F 2 , F 1 F 2 = S(F)=S(F 1)+S(F 2); S(E)=1.)

· Определения через абстракцию. Прибегают к такому определению понятия, когда другое трудно или невозможно осуществить (например, натуральное число).

· Определение-отрицание - определение, в котором фиксируется не наличие свойства, а его отсутствие (например, параллельные прямые).

Конструктивные (или генетические) - это определения, в которых указывается способ получения нового объекта (например, сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра). Среди таких определений иногда выделяют рекурсивные - определения, указывающие некоторый базисный элемент какого-либо класса и правило, по которому можно получить новые объекты того же класса (например, определение прогрессии).

1.4 Методические требования к определению понятия

· Требование научности.

· Требование доступности.

· Требование соизмеримости (объём определяемого понятия должен быть равен объёму определяющего понятия). Нарушение данного требования ведёт либо к очень широкому, либо к очень узкому определению.

· Определение не должно содержать порочного круга.

· Определения должны быть ясными, точными, не содержать метафорических выражений.

· Требование минимальности.

1.5 Введение понятий в школьном курсе математики

При формировании понятий необходимо организовывать деятельность учащихся по усвоению двух основных логических приёмов: подведение под понятие и выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию.

Действие подведения под понятие имеет следующую структуру:

1) Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.

2) Установление логических связей между ними.

3) Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.

4) Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия.

Выведение следствий - это выделение существенных признаков объекта, принадлежащему данному понятию.

В методике выделяют три пути введения понятий :

1) Конкретно-индуктивный:

o Рассмотрение различных объектов как принадлежащих объёму понятия, так и не принадлежащих.

o Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов.

o Введение термина, формулировка определения.

2) Абстрактно-дедуктивный:

o Введение определения учителем.

o Рассмотрение особых и частных случаев.

o Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.

При введении понятия первым путём учащиеся лучше понимают мотивы введения, учатся строить определения и понимать важность каждого слова в нём. При введении понятия вторым путём экономится большое количество времени, что тоже не маловажно.

3) Комбинированный. Используется для более сложных понятий математического анализа. На основе небольшого числа конкретных примеров даётся определение понятия. Затем путём решения задач, в которых варьируются несущественные признаки, и путём сопоставления данного понятия с конкретными примерами продолжается формирование понятия.

1.6 Основные этапы изучения понятия в школе

В литературе выделяют три основных этапа изучения понятий в школе:

1. При введении понятия используется один из трёх вышеизложенных способов. Во время данного этапа нужно учесть следующее:

· Прежде всего, необходимо обеспечить мотивацию введения данного понятия.

· При построении системы задач на подведение под понятие обеспечить наиболее полный объём понятия.

· Важно показать, что объём понятия - не пустое множество.

· Раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные.

· Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии.

· Усвоение терминологии и символики.

Итогом данного этапа является формулировка определения, усвоение которого - содержание следующего этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объёму понятия.

2. На этапе усвоения определения продолжается работа над запоминанием определения. Достигаться это может с помощью следующих приёмов:

· Выписывание определений в тетрадь.

· Проговаривание, подчёркивание или какая-нибудь нумерация существенных свойств.

· Использование контрпримеров для выполнения правил соизмеримости.

· Подбор недостающих слов в определении, отыскание лишних слов.

· Обучение приводить примеры и контрпримеры.

· Обучение применения определения в простейших, но достаточно характерных ситуациях, так как многократное повторение определения вне решения задач неэффективно.

· Указать на возможность различных определений, доказать их эквивалентность, но для запоминания выбрать лишь одно.

· Учить конструировать определение, использовать для этого составление родословных, разъясняя логическую структуру; знакомить с правилами построения определения.

· Сходные пары понятий давать в сравнении и сопоставлении.

Таким образом, каждое существенное свойство понятия, используемое в определении, на данном этапе делается специальным объектом изучения.

3.Следующий этап - закрепление . Понятие можно считать сформированным, если учащиеся сразу узнают его в задаче без всякого перебирания признаков, то есть процесс подведения под понятие свёрнут. Достичь этого можно следующими путями:

· Применение определения в более сложных ситуациях.

· Включение нового понятия в логические связи, отношения с другими понятиями (например, сопоставление родословных, классификаций).

· Желательно показать, что определение даётся не ради его самого, а для того, чтобы оно «работало» при решении задач и построении новой теории.

Глава 2
Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах

2.1 Особенности познавательной деятельности

Восприятие. Школьник 5-6 классов обладает достаточным уровнем развития восприятия. У него высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета.

Процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур.

У школьников этого возраста появляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера.

Процесс формирования понятия - постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет чувственное восприятие объекта.

Память. Школьник 5-6 классов способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает.

В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.

Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.

Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания.

Школьник 5-6 классов вполне может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому нужно поддерживать интерес школьника к изучению математики. При этом целесообразно опираться на вспомогательные средства (предметы, картинки, таблицы).

В школе на уроках внимание нуждается в поддержке со стороны учителя.

Воображение. В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся 5-6 классов с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.

При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.

У школьников 5-6 классов воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.

Все указанные выше особенности создают почву для развития процесса творческого воображения, в котором большую роль играют специальные знания учащихся. Эти знания составляют основу для развития творческого воображения и в последующие возрастные периоды жизни школьника.

Мышление. Всё большее значение начинает приобретать теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем. Изучаемый в школе материал становится для него условием для построения и проверки своих гипотез.

В 5-6 классах у школьника вырабатывается формальное мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с конкретной ситуацией.

Учёные изучали вопрос об умственных возможностях школьников 5-6 классов. В результате исследований выявилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании соответствующих условий, т.е. при специальной методической организации обучения, учащийся 5-6 классов может усвоить абстрактный математический материал.

Как видно из вышеизложенного, психические процессы характеризуются возрастными особенностями, знание и учёт которых необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся.

2.2 Психологические аспекты формирования понятий

Обратимся к психологической литературе и выясним основные положения концепции формирования научных понятий.

В учебном пособии говорится о невозможности передачи понятия в готовом виде. Ребёнок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.

Становление понятий - это процесс формирования не только особого образца мира, но и определённой системы действий. Действия, операции и составляют психологический механизм понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются. И необходимо формировать следующие виды действий, используемых при изучении понятий:

· Действие распознавания используется, когда понятие усваивается для распознавания объектов, относящихся к данному классу. Данное действие может быть применено при формировании понятий с конъюнктивной и дизъюнктивной логической структурой.

· Выведение следствий.

· Сравнение.

· Классификация.

· Действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и другие.

Рассматривается в также роль определения понятия в процессе его усвоения. Определение - ориентировочная основа для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение угла, ученик может теперь анализировать различные предметы с точки зрения наличия или отсутствия в них признаков угла. Такая реальная работа создаёт в голове ученика образ предметов данного класса. Таким образом, получение определения - это лишь первый шаг на пути усвоения понятия.

Второй шаг - включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах.

Третий шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах, в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; в-третьих - могут добавить к указанным определениям свои.

Условия, обеспечивающие управление процессом усвоения поняти й

1. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства.

2. Знание состава используемого действия. Например, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов.

3. Представленность всех элементов действий во внешней, материальной форме.

4. Поэтапное формирование введённого действия.

5. Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия.

Н.Ф. Талызина подробно останавливается на поэтапном формировании понятий. После выполнения 5-8 заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правила и предписание называются или записываются учащимися по памяти.

В том случае, когда действие легко и правильно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание даётся в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащиеся совершают про себя. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату по мере необходимости.

Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. Контроль со стороны обучаемого предусмотрен только за конечным продуктом действий. Помощь обучаемый получает при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным.

Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование же по обобщённости обеспечивается специальным подбором заданий

Дальнейшее преобразование действия достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно лишь на последних этапах. На всех других этапах даётся лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме.

Требования к содержанию и форме заданий

1. При составлении заданий следует ориентироваться на те новые действия, которые формируются.

2. Второе требование к задачам - соответствие формы этапу усвоения. Например, на первых этапах объекты, с которыми работают учащиеся, должны быть доступны для реального преобразования.

3. Количество заданий зависит от цели и сложности формируемой деятельности.

4. При подборе заданий необходимо учитывать, что преобразование действия идёт не только по форме, но и по мере обобщённости, автоматизации и т.д.

Было проведено множество экспериментов, когда реализовывались указанные условия. Во всех случаях, утверждает Н. Ф. Талызина, понятия формировались не только с заданным содержанием, но и высокими показателями по следующим характеристикам:

· разумность действий испытуемых;

· осознанность усвоения;

· уверенность учащихся в знаниях и действиях;

· отсутствие связанности чувственными свойствами предметов;

· обобщённость понятий и действий;

· прочность сформированных понятий и действий.

Итак, у ребёнка постепенно формируется определённый образ предметов данного класса. Понятие действительно нельзя дать в готовом виде, оно может быть построено только самим учеником путём выполнения определённой системы действий с предметами. Учитель помогает ученику сформировать этот образ с содержанием, опережающим существенные свойства предметов данного класса, и задаёт общественно выработанную точку зрения на предметы, с которыми работает ученик. Понятие - это продукт действий, выполняемых учеником с предметами данного класса.

2.3 Некоторые педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах

Ведущей идеей современной концепции школьного образования является идея гуманизации, ставящая в центр процесса обучения ученика с его интересами и возможностями, требующая учёта особенностей его личности. Главными направлениями математического образования является усиление общекультурного звучания и повышение его значимости для формирования личности подрастающего человека. Основные идеи, положенные в основу курса математики 5-6 класса - это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей 10-12 лет.

Курс математики 5-6 классов - важное звено математического образования и развития школьников. На этом этапе заканчивается в основном обучение счёту на множестве рациональных чисел, формируется понятие переменной и даются первые знания о приёмах решения линейных уравнений, продолжается обучение решению текстовых задач, совершенствуются и обогащаются умения геометрических построений и измерений. Серьёзное внимание уделяется формированию умения рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов.

Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.

Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.

В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане - учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.

Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене - формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.

Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .

Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:

1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.

2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.

3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2 <1000».

4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.

В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.

Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.

Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.

Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.

В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:

· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом - довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.

· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.

Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах - комбинированный.

Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:

· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.

· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.

· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.

Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.

· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, - работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого - недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.

На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.

· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.

2.4 Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.

Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».

Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение, фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы арифметических действий, законы арифметических действий и др.).

Не всегда есть возможность да и необходимость формировать определения по конструкции: 1) указывается род; 2) указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода. Учащихся учат на наглядно-интуитивной основе понимать значение существенных и несущественных признаков для раскрытия сути определяемого понятия, то есть достаточно сформировать правильное представление. В курсе математики 5-6 классов это часто достигается с помощью поясн я ю щи х описаний - доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию. Пример, поясняющие описания многоугольника, многогранника, расстояния, симметрий, натурального числа и др.

Большинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными - им трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и потеря или замена остаются им незамеченными.

Главное в работе с определениями в 5-6 классах - показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий.

Если учащиеся в 5-6 классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут изучать курс математики старших классов более осознано.

Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные представления о необходимости обоснования, её убедительности рассуждений. Этот начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве, адекватном математике.

Проанализировав учебники для 5-6 классов, увидим, что аксиоматические определения отсутствуют, геометрические понятия в большинстве своём определяются через конструирование, алгебраическим понятиям, в основном, даются определения-соглашения, поясняющее описание.

Приведём сравнительное процентное соотношение определений, даваемых в учебниках . В присутствует 53% определений-соглашений, 20% -- пояснительных описаний, 27% -- конструктивных определений, а в определений-соглашений -- 33%, пояснительных описаний -- 32%, конструктивных определений -- 35%. Отличия объясняются большим количеством геометрических понятий, вводимых в .

Вводить понятия на данном этапе обучения следует конкретно-индуктивным путём, уделяя большое внимание мотивации введения. Для усвоения понятий в этом возрасте психологи советуют давать 10-12 заданий.

Рассмотрим конкретные примеры.

Угол 2

На каждом из рисунков найдите и назовите лучи и их начала. Что такое "луч"? Есть ли у луча начало?

Вы знаете что такое многоугольник (рис.8). Какие элементы многоугольника вы можете назвать? (Стороны, вершины). Оказывается, что у многоугольника существуют ещё элементы. Сегодня нам и предстоит их изучить. Обратите свое внимание на рис.4, вы видите два луча с общим началом, вместе они составляют единую фигуру. И чтобы не делить её на части, древними было дано этой фигуре особое название -- "угол".

Как же получают фигуру, называемую углом?

1. Берут произвольную точку (в нашем случае это точка О);

2. Проводят два луча с началом в этой точке (ОА, ОВ).

Таким образом, углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (ребята могут сформулировать определение сами!). Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, -- вершиной угла.

На нашем рисунке сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной -- точка О. Этот угол обозначают так: <АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О.

Задание 1: На каждом из рисунков (рис.1--рис.7) выберите углы и правильно назовите их.

Задание 2: Выберите правильное обозначение следующих углов.

А)

Б)

В)

Г)

Д) <С

Задание 3: Напишите в тетради обозначения следующих углов. И зарисуйте их.

Задание 4: Начертите произвольные углы:

Давайте рассмотрим, как могут располагаться точки на плоскости, относительно данного угла.

На рисунке изображён угол F.

Точки C,D лежат внутри угла F.

Точки X,Y лежат вне угла F.

Точки M,K - на сторонах угла F.

Задание 5: Начертите угол О и изобразите следующие точки:

А) А, В, С - внутри угла О;

Б) D, F, E, K - на сторонах угла О;

В) M, P, S, T - вне угла О.

Задание 6: Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

Задание 7: Начертите 4 луча: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи.

Наибольший общий делитель.

Задание 1: Верно ли, что:

А) 5 - делитель 45; Б) 16 - делитель 8; В) 17 - делитель 172?

Задание 2: Назовите все делители чисел:

А) 6; Б) 18; В) 125; Г) 19.

Задание 3 : Выберите наибольшее из чисел:

А) 1, 5, 3, 8, 12, 4; Б) 15, 30, 45, 90.

Задание 4: На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов?

Затем учитель задаёт вопросы, подобные следующим (учащиеся должны вспомнить, что такое «натуральное число» и «делитель натурального числа»):

· Какое число называют делителем данного натурального

У Деда Мороза имеется 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», ему необходимо составить наибольшее количество одинаковых подарков для детей, используя все конфеты.

Как же ему быть? Сегодня вы узнаете, как можно быстро помочь Деду Морозу.

1. Делители 6 : 1, 2, 3, 6 - натуральные числа.

Делители 18 : 1, 2, 3, 6, 18 - натуральные числа

2. Делители 15 : 1, 3, 5, 15 - натуральные числа

Делители 30: 1, 3, 5, 15, 2, 6, 10, 30 - натуральные числа

3. Делители 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 - натуральные числа.

Делители 18: 1, 2, 3, 6, 18 - натуральные числа.

Как видим, во всех случаях выделены общие делители двух натуральных чисел, и из этих общих делителей выбрано наибольшее натуральное число.

Вернёмся на помощь Деду Морозу. На какое одинаковое количество подарков можно разделить 48 конфет «Ласточка»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 48.

48: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 48.

На какое одинаковое количество подарков можно разделить 36 конфет «Чебурашка»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 36.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Но Деду Морозу необходимо составить абсолютно одинаковые подарки, поэтому ему нужно выбрать общие делители чисел 48 и 36.

Общие делители чисел 48 и 36 : 1, 2, 3. 6, 12.

Выбрав наибольшее натуральное число из общих делителей чисел 48 и 36, Дед Мороз составит наибольшее количество одинаковых подарков для детей. Таким числом будет число 12.

Значит, Деду Морозу можно составить 12 подарков, в каждом из которых будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).

Итак, наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b , называется наибольшим общим делителем этих чисел .

Задание 1. Найдите все общие делители чисел:

А) 18 и 60; Б) 72, 98 и 120; В) 35 и 88.

Задание 2. Выпишите общие делители чисел a и b и найдите их наибольший общий делитель, если:

А)Делители а: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Делители b : 1, 2. 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30. 45, 90

Б)Делители а: 1, 2, 3. 6, 18

Делители b : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Задание 3: Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b , если:

А) а =2·2·3·3 и b =2·3·3·5;

Б) а= 5·5·7·7·7 и b = 3·5·7·7.

Задание 4: Найдите наибольший общий делитель чисел:

А) 12 и 18; Б) 50 и 175.

Задание 5: Ребята на новогодней ёлке получили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке?

Глава 3
Опытное преподавание

На теоретической основе, представленной в предыдущих главах, был разработан и проведён урок в 5 классе Талицкой СШ Фалёнского района. Далее приведён конспект данного урока.

Класс: 5.

Количество уроков по разделу : 26

Тема урока: «Доли. Обыкновенные дроби».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Номер урока в разделе «Обыкновенные дроби» : 5

Цели:

Образовательные:

· создать условия для усвоения учащимися понятия доли, обыкновенной дроби, числителя и знаменателя;

· научить применять дроби при решении различных задач.

Развивающие:

· развитие познавательного интереса и грамотной математической речи;

· развитие логического мышления.

Воспитательные:

· воспитание дисциплинированности;

· воспитание аккуратности.

Оборудование: наглядное пособие в виде разрезанного яблока, карточки с заданием (раздать перед уроком).

Литература: .

План урока:

1. Организационный этап.

2. Актуализация знаний.

3. Этап изучения нового материала:

1) Введение понятия доли, половины, трети, четверти.

2) Усвоение понятия доли.

3) Введение понятия дроби.

4) Усвоение понятия дроби.

4. Этап закрепления изученного.

5. Этап постановки домашнего задания

6. Подведение итогов урока

Ход урока:

			Доска/тетрадь
1 .	Здравствуйте! Садитесь, ребята, пожалуйста! Сегодня мы займёмся изучением особых чисел, называемых обыкновенными дробями.		«Дата» Классная работа.
	А для начала давайте вспомним, что такое натуральное число? Для чего применяются натуральные числа? Верно.	Натуральные числа применяются для счёта предметов.
		1) Представьте себе, что у вас имеется 5 яблок. И вам необходимо разделить их поровну между пятью друзьями. По сколько яблок достанется каждому? Верно. А если мама купила один арбуз и разрезала его на 6 равных частей: бабушке, дедушке, папе, двум детям и себе, то эти равные части будут называются долями . Поскольку, арбуз разделили на 6 долей, то каждый получил « долю арбуза» или « арбуза». Теперь начертите, пожалуйста, в тетради отрезок АВ длиной 5 см. Какую долю отрезка АВ будет составлять отрезок длиной 1 см.? Пусть, у каждого из вас, ребята, есть по яблоку. Как вы будете действовать, если я попрошу вас отрезать от яблока половину? Прав будет тот, кто разделит яблоко на две доли, потому что половиной называется доля, -- третью, а -- четвертью. Например, половиной часа является 30 мин, четвертью--15 мин, третью--20 мин 2) Яблоко разрезали на 8 долей, съели 3 доли. Сколько долей осталось? Эти 5 долей обозначают «яблока» Ещё один пример. А в этом случае сколько долей осталось? Сейчас обратите внимание на рисунок. На нём прямоугольника закрашена, а какая часть прямоугольника не закрашена? Записи вида: называют обыкновенными дробями . Верхнюю часть дроби называют числителем, а нижнюю -- знаменателем. Вернёмся к рисунку, на котором изображено яблока. Что в данной дроби является числителем, а что --знаменателем?

Подобные документы

Сущность формирования понятий, его общая схема и особенности, этапы реализации и возможные пути. Классификация понятий и ее методика для математических дисциплин. Определение как завершающий этап формирования понятия, его разновидности и особенности.

реферат , добавлен 24.04.2009


Этапы формирования математических понятий при изучении математике в школе. Типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий. Методика работы над математическим определением, этапы их изучения. Педагогические приемы введения понятий.

реферат , добавлен 07.03.2010


"Понятие" в психолого-педагогической, философской, учебно-методической литературе. Виды и определения математических понятий в начальной математике. Роль, функции классификации при формировании понятий. Система формирования математических понятий.

дипломная работа , добавлен 23.11.2008


Психолого-педагогические особенности учащихся 5–6 классов, специфика формирования у них математических понятий. Психологические особенности усвоения дробей. Сравнительный анализ методических подходов к изучению темы "Дроби", их преимущества и недостатки.

дипломная работа , добавлен 22.07.2011


Психолого-педагогические основы формирования научных понятий. Сущность и источники витагенного обучения. Методы и приемы выявления и актуализации витагенного опыта учащихся. Формирование научных понятий как педагогическая проблема. Виды научных понятий.

дипломная работа , добавлен 13.12.2009


статья , добавлен 15.09.2009


Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

курсовая работа , добавлен 29.09.2016


Психолого-педагогические основы развития одарённых учащихся в процессе обучения математике. Методические особенности постановки обучения математике в 5-6 классах, направленного на развитие одарённых детей. Реализация данных целей во внеклассной работе.

дипломная работа , добавлен 19.04.2011


Проблема понимания текстовых сообщений в психолингвистических и психолого-педагогических исследованиях. Современные представления о тексте в методике школьного обучения. Особенности лексики младших школьников. Психология процесса формирования понятий.

курсовая работа , добавлен 18.08.2011


Формирование понятий обратных тригонометрических функций, а также разработка методики обучения данной темы в школах и классах с углубленным изучением математики. Использование информационных технологий при изучении обратных тригонометрических функций.

Введение

Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе - и математики.

Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, - понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено, у обучаемых возникнут серьёзные проблемы при дальнейшем изучении математики.

С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении различных математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятиями: точка, линия, угол, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов.

Задача учителя - обеспечить полноценное усвоение понятий. Однако в школьной практике данная задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.

«Главный недостаток школьного усвоения понятий - формализм», --считает психолог Н.Ф.Талызина. Суть формализма состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятия, то есть, осознавая его содержание, не умеют пользоваться им при решении задач на применение этого понятия. Следовательно, формирование понятий -- это важная, актуальная проблема.

Объект исследования: процесс формирования математических понятий в 5-6 классах.

Цель работы: разработать методические рекомендации для изучения математических понятий в 5-6 классах.

Задачи работы:

1. Изучить математическую, методическую, педагогическую литературу по данной теме.

2. Выявить основные способы определения понятий в учебниках 5-6 классов.

3. Определить особенности формирования математических понятий в 5-6 классах.

Гипотеза исследования : Если в процессе формирования математических понятий в 5-6 классах учесть следующие особенности:

· понятия в большинстве своём определяются с помощью конструирования, и часто формирование правильного представления о понятии у учащихся достигается с помощью поясняющих описаний;

· вводятся понятия конкретно-индуктивным путём;

· на протяжении всего процесса формирования понятия большое внимание уделяется наглядности, то этот процесс будет более эффективным.

Методы исследования:

· изучение методической и психологической литературы по теме;

· сравнение различных учебников по математике;

· опытное преподавание.

Основы методики изучения математических понятий

Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий

Понятие - форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание - множество существенных признаков понятия. Объём - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём - это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

o должно проводится по одному признаку;

o классы должны быть не пересекающимися;

o объединение всех классов должно давать всё множество;

o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Пример.

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

План:

1. Понятие как форма мышления. Содержание и объем понятия.

2. Определение понятия, виды определений. Классификация понятий.

3. Методика изучения понятий в курсе средней школы (пропедевтика, введение, усвоение, закрепление, предупреждение ошибок).

1. Познание окружающего мира осуществляется в диалектическом единстве чувственной и рациональной форм мышления. К чувственным формам мышления относятся: ощущение, восприятие, представление. К рациональным формам мышления относятся: понятия, суждения, умозаключения. Ощущение и восприятие-первые сигналы действительности. На их основе образуются общие представления, а от них в результате сложной умственной деятельности мы переходим к понятиям.

Понятие - это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки (свойства) объектов реального мира.

Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Например, формальное понятие куба (различные кубы, размеры, цвета, материалы). При наблюдении их возникает восприятие объекта, следовательно, возникает представление об этих объектах в сознании. Затем, выделяя существенные признаки, формируется понятие.

Итак, понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений, и является результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов.

Всякое понятие имеет две логические характеристики: содержание и объем.

Объемом понятия называется совокупность объектов, обозначаемых одним и тем же термином (названием).

Например, термин (название) - трапеция.

1) четырехугольник,

2) одна пара противолежащих сторон параллельна,

3) другая пара противолежащих сторон не параллельна,

4) сумма углов прилежащих к боковой стороне равна .

Объем понятия – все мыслимые трапеции.

Между содержанием понятия и объемом существует следующая связь: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник». А содержание первого понятия больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами присущими только равнобедренным треугольникам (боковые стороны равны, углы при основании равны). Итак, если увеличить содержание, то уменьшится объем понятия.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называют видовым, а второе родовым.

Например, ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Ромб - видовое, параллелограмм - родовое.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Квадрат - видовое, прямоугольник - родовое.

Но, квадрат-это ромб, у которого угол прямой .

То есть понятие рода и вида относительны.

Каждое понятие связано со словом-термином, которое соответствует данному понятию. В математике понятие часто обозначается символом ( ‌‌‌‌║). Термины и символы - это средства, которые служат для выражения и фиксирования математических понятий, для передачи и обработки информации о них.

2. В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы распознать объект, установить принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него некоторых существенных свойств.

Определение понятия - формулировка предложения, в котором перечисляются необходимые и достаточные признаки понятия. Таким образом, содержание понятия раскрывается через определение.

Виды определений понятий.

1.Определение через ближайший род и видовое отличие .

Подчеркнем, что в качестве видового отличия всегда берется несущественный признак родового понятия, который для определяемого понятия является уже существенным.

Свойства объекта в таком определении раскрываются путем показа операций его конструирования.

Пример, треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (Погорелов, 7 класс). Это определение подсказывает учащимся, как построить треугольник равный данному.

3.Определения - условные соглашения . Те же конструктивные определения, но основанные на некотором соглашении. Такие определения используются в школьном курсе математики при расширении понятия числа.

Например, .

4. Индуктивные (рекурсивные). Указываются некоторые базисные объекты некоторого класса и правила, позволяющие получить новые объекты этого же класса.

Например. Числовая последовательность каждый член, которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

5. Отрицательные определения. Они не задают свойства объекта. Они выполняют как бы классификационную функцию. Например, скрещивающиеся прямые - это такие прямые, которые не принадлежат плоскости и не пересекаются .

6. Аксиоматическое определение . Определение через систему аксиом. Например, определение площади и объема.

Виды ошибок при определении понятий.

1) Определение должно быть соразмерно - в нём должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию (параллелограмм-это четырехугольник, параллелограмм-это многоугольник).

2) Определение не должно содержать «порочного круга» - первое определяется через второе, а второе через первое (прямой угол равен девяносто градусов, один градус-это одна девяностая прямого угла).

3) Определение должно быть достаточным. В определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия (смежными называются углы, которые в сумме дают ).

4) Определение не должно быть избыточным, то есть в определении не должно быть указано лишних признаков определяемого понятия. Например, ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Это определение избыточно, ибо достаточно равенства двух смежных сторон.

5) Определение не должно быть тавтологией, то есть повторяющей в любой словесной форме ранее сказанное. Например, равными треугольниками называются треугольники, которые равны между собой.

Логическая структура видовых отличий.

1. Видовые отличия могут быть связаны союзом «и» - конъюнктивная структура определения.

2. Видовые отличия связаны союзом «или» - дизъюнктивная структура определения.

3. Видовые отличия связаны словами «если…., то …» - импликативная структура.

Классификация – это распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому происходит классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.

При проведении классификации необходимо соблюдать следующие правила:

1) В качестве основания классификации можно брать лишь один общий признак всех объектов данного понятия, он должен оставаться неизменным в процессе классификации.

2) Каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.

3) Классификация должна быть соразмерной, то есть объединение классов объектов составляют объем понятия (нет объекта, который не попал бы ни в один класс).

4) Классификация должна быть непрерывной, то есть в процессе классификации необходимо переходить к ближайшему (к данному) родовому понятию (виду).

В настоящее время в школьных учебниках термин классификация не употребляется, требования не указываются. Но это не значит, что учитель не классифицирует понятия. Классифицировать можно числа, функции, алгебраические выражения, геометрические преобразования, многоугольники, многогранники. Её можно оформлять в виде схемы, таблицы.

Учащихся следует подготавливать к построению классификации постоянно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы, таблицы. На втором заполнение этих схем, таблиц. На третьем самостоятельное конструирование.

Виды классификаций:

1. Классификация по видоизмененному признаку. Например, треугольник. Основание классификации: величина внутренних углов, члены: прямоугольные, остроугольные, тупоугольные.

2. Дихотомическая классификация (dicha и tome(греч)- «сечение на две части»). Оно представляет собой деление объема классифицируемого понятия на два противоречащих друг другу видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое не обладает им.

Например,

3. При формировании понятия следует соблюдать три этапа: введение, усвоение, закрепление.

I. Введение может осуществляться двумя путями:

а) конкретно-индуктивный-все признаки понятия рассматриваются на примерах или задачах, после чего вводится термин и определение.

б) абстрактно-дедуктивным-сразу дается определение, а потом на примерах обрабатываются признаки.

II. Усвоение.

Здесь прослеживаются две цели:

1) выучить определение.

2) Научить учащихся определять подходит ли объект под рассматриваемые понятия или нет. Этот этап осуществляется на специально составленных упражнениях.

Для реализации второй цели необходимо:

1) указывать систему необходимых и достаточных свойств объектов данного класса.

2) установить, обладает данный объект выделенными свойствами или нет.

3) заключить о принадлежности объекта к данному понятию.

III. Закрепление-решение более сложных задач, включающих рассматриваемые понятия.

Замечание 1 . Формулируя определение понятия, следует обратить внимание на то, понятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. В первую очередь следует обращать внимание на следующие слова: «каждый», «не более» и т.д.

Замечание 2 . На этапе закрепления понятия следует предлагать задания не только на распознавание объекта, но и на отыскание следствий. Например, известно, что четырехугольник - трапеция ( и её основания). Назовите следствия, вытекающие из данных условий в силу определения трапеции.